Jon's Matematika: Soal dan Pembahasan Fungsi Kuadrat

Persamaan kuadrat x² – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x₁ dan x₂. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x₁ – 3 dan x₂ – 3 adalah …

A. x² – 2x = 0

B. x² – 2x + 30 = 0

C. x² + x = 0

D. x² + x – 30 = 0

E. x² + x + 30 = 0

PEMBAHASAN :

akar – akarnya :

x₁ – 3 = y $\Rightarrow$ x₁ = y + 3

x₂ – 3 = y $\Rightarrow$ x₂ = y + 3

substitusi nilai “x₁” atau “x₂” kepersamaan kuadrat dalam soal, sehingga menjadi :

     x² – 5x + 6 = 0

PK Baru : (y + 3)² – 5(y + 3) + 6 = 0

           y² + 6y + 9 – 5y – 15 + 6 = 0

           y² + y = 0

JAWABAN : C
Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 72 m². Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tersebut adalah … m.

A. $6\sqrt{2}$

B. $6\sqrt{6}$

C. $4\sqrt{15}$

D. $4\sqrt{30}$

E. $6\sqrt{15}$

PEMBAHASAN :

p = 3l

p x l = 72

3l x l = 72

4l² = 72

l² = 18

l = $\sqrt{18}$

    p = 3l = 3. $3\sqrt{2}$ = $3\sqrt{18}$

Diagonal = $\sqrt{p^2 + l^2}$

         = $\sqrt{(\sqrt{18})^2 + (3\sqrt{18})^2}$

         = $\sqrt{18 + 3.18}$

         = $\sqrt{18 + 54}$

         = $\sqrt{72}$

         = $6\sqrt{2}$

JAWABAN : A
Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 192 m². Selisih panjang dan lebarnya adalah 4 m. Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar 2 m, maka luas jalan tersebut adalah … m².

A. 96

B. 128

C. 144

D. 156

E. 168

PEMBAHASAN :

p – l = 4

p x l = 192

(4 + l) x l = 192

4l + l² = 192

l² + 4l – 192 = 0

(l – 12)(l + 16) = 0

l = 12 atau l = -16 (tidak memenuhi)

p = 4 + l = 4 + 12 = 16

Untuk menentukan luas jalan, kita partisi-partisi menjadi 8 yaitu :

4 luas jalan yang berada di pojok-pojok kebun berbentuk persegi dengan panjang sisi 2cm : 4 x 2² = 16cm²

2 luas jalan yang berada pada panjang kebun dengan panjang sisi 12cm dan lebar 2cm : 2 x (12 x 2) = 48cm²

2 luas jalan yang berada pada lebar kebun dengan panjang sisi 8cm dan lebar 2cm : 2 x (8 x 2) = 32cm²

Jadi luas jalan yang dibangun adalah 16 + 48 + 32 = 96cm²

JAWABAN : A
Diketahui akar – akar persamaan kuadrat 2x² – 4x + 1 = 0 adalah m dan n. Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya $\frac{m}{n}$ dan $\frac{n}{m}$ adalah …

A. x² – 6x + 1 = 0

B. x² + 6x + 1 = 0

C. x² – 3x + 1 = 0

D. x² + 6x – 1 = 0

E. x² – 8x – 1 = 0

PEMBAHASAN :

y₁ + y₂= $\frac{m}{n}$ + $\frac{n}{m}$

       = $\frac{m.m+n.n}{m.n}$

       = $\frac{m^2 + n^2}{mn}$

       = $\frac{(m+n)^2-2mn}{mn}$

       = $\frac{(-b/a)^2-2(c/a)}{c/a}$

       = $\frac{(4/2)^2-2(1/2)}{1/2}$

       = $\frac{4-1}{1/2}$ = 6

y₁.y₂ = $\frac{m}{n}$ . $\frac{n}{m}$

     = $\frac{m.n}{n.m}$

   = 1

PK Baru : y² – (y₁ + y₂)y + (y₁.y₂) = 0

          y² – 6y + 1 = 0

JAWABAN : A
Persamaan 2x² + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x₁ dan x₂. Jika x₁² + x₂² = 4, maka nilai q = …

A. -6 dan 2

B. -6 dan -2

C. -4 dan 4

D. -3 dan 5

E. -2 dan 6

PEMBAHASAN :

x₁² + x₂² = 4

(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 4

(-b/a)² – 2(c/a) = 4

(-q/2)² – 2((q – 1)/2) = 4

q²/4 – q + 1 = 4 (kalikan 4)

q² – 4q + 4 = 16

q² – 4q – 12 = 0

(q – 6)(q + 2) = 0

q = 6 atau q = -2

JAWABAN : E
Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x² – 9x + c = 0 adalah 121, maka c = …

A. -8

B. -5

C. 2

D. 5

E. 8

PEMBAHASAN :

D = 121

b² – 4ac = 121

(-9)² – 4(2)(c) = 121

81 – 8c = 121

81 – 121 = 8c

-40 = 8c

-5 = c

JAWABAN : B
Persamaan (1 – m)x² + (8 – 2m)x + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m = …

A. -2

B. -3/2

C. 0

D. 3/2

E. 2

PEMBAHASAN :

Akar kembar jika D = 0

b² – 4ac = 0

(8 – 2m)² – 4(1 – m)(12) = 0

64 – 32m + 4m² – 48 + 48m = 0

4m² + 16m + 16 = 0

4(m² + 4m + 4) = 0

(m + 2)(m + 2) = 0

m₁,₂ = -2

JAWABAN : A
Jika x₁ dan x₂ adalah akar – akar persamaan kuadrat x² + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar – akarnya $\frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2}$ dan x₁ + x₂ adalah …

A. x² – 2p²x + 3p = 0

B. x² + 2px + 3p² = 0

C. x² + 3px + 2p² = 0

D. x² – 3px + 2p² = 0

E. x² + p²x + p = 0

PEMBAHASAN :

misal :

y₁ = $\frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2}$

y₂ = x₁ + x₂

y₁ + y₂ = ( $\frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2}$ ) + (x₁ + x₂)

        = ( $\frac{2x_2 + 2x_1}{x_1.x_2}$ ) + (x₁ + x₂)

        = ( $\frac{2(-b/a)}{(c/a)}$ ) + (-b/a)

        = $\frac{-2b}{c}$ + (-b/a)

        = $\frac{-2p}{1}$ + (-p/1)

        = -3p

y₁.y₂ = ( $\frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2}$ ).(x₁ + x₂)

     = ( $\frac{2x_2 + 2x_1}{x_1.x_2}$ ) + (x₁ + x₂)

     = ( $\frac{2(-b/a)}{(c/a)}$ ).(-b/a)

     = $\frac{-2b}{c}$ .(-b/a)

     = $\frac{-2p}{1}$ .(-p/1)

     = 2p²

PK Baru : y² + (y₁ + y₂)y + (y₁.y₂) = 0

          y² + (-3p)y + (2p²) = 0

          y² – 3py + 2p² = 0

JAWABAN : D
Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3 dan untuk x = 0 nilai fungsi 16. Fungsi kuadrat itu adalah …

A. f(x) = 2x² – 12x + 16

B. f(x) = x² + 6x + 8

C. f(x) = 2x² – 12x – 16

D. f(x) = 2x² + 12x + 16

E. f(x) = x² – 6x + 8

PEMBAHASAN :

misal : f(x) = ax² + bx + c

substitusi x = 0 untuk nilai fungsi 16, sehingga :

   f(0) = a(0)² + b(0) + c

   16 = c … (i)

Substitusi x = 3 untuk nilai minimum -2, sehingga :

   f(3) = a(3)² + b(3) + c

   -2 = 9a + 3b + c … (ii)

      f’(x) = 2ax + b

substitusi titik x = 3 (titik minimum) untuk f’(x) = 0, sehingga :

   0 = 2a(3) + b

   b = -6a … (iii)

substitusi (i) dan (iii) ke (ii), sehingga diperoleh :

   -2 = 9a + 3b + c

   -2 = 9a + 3(-6a) + 16

   -2 = 9a – 18a + 16

   -18 = -9a

     2 = a

         b = -12

f(x) = ax² + bx + c

substitusi a = 2 , b = -12 dan c = 16

f(x) = 2x² – 12x + 16

JAWABAN : A
Nilai maksimum dari fungsi f(x) = –2x² + (k+5)x + 1 – 2k adalah 5. Nilai k yang positif adalah …

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

E. 9

PEMBAHASAN :

f(x) = –2x² + (k + 5)x + 1 – 2k

f’(x) = -4x + k + 5 = 0

-4x = -(k + 5)

x = (k + 5)/4

substitusi nilai “x” ke fungsi :

f(x) = –2x² + (k+5)x + 1 – 2k

5 = –2( $\frac{k + 5}{4}$ )² + (k+5)( $\frac{k + 5}{4}$ ) + 1 – 2k

5 = –2( $\frac{k^2 + 10k + 25}{16}$ ) + 4( $\frac{k^2 + 10k + 25}{16}$ ) + $\frac{16-32k)}{16}$

5.16 = -2k² – 20k – 50 + 4k² + 40k + 100 + 16 – 32k

80 = 2k² – 12k + 66

2k² – 12k – 14 = 0

2(k² – 6k – 7) = 0

2(k – 7)(k + 1) = 0

k = 7 atau k = -1

JAWABAN : C
Absis titk balik grafik fungsi f(x) = px² + ( p – 3 )x + 2 adalah p. Nilai p = …

A. -3

B. -3/2

C. -1

D. 2/3

E. 3

PEMBAHASAN :

Titik balik = titik minimum.

f(x) = px² + ( p – 3 )x + 2

f’(x) = 2px + p – 3 = 0

substitusi x = p, sehingga diperoleh :

   2p² + p – 3 = 0

   (2p + 3)(p – 1) = 0

   p = -3/2 atau p = 1

JAWABAN : B

Jon's Matematika

Minggu, 20 Januari 2013

Soal dan Pembahasan Fungsi Kuadrat

2 komentar:

Posting Komentar

Cari Artikel